28.8.11

Número de Elementos da União de Dois Conjuntos






Número de elementos da União de dois conjuntos


Ex.: A = {0, 2, 4, 6}

B = {4, 6, 7, 8} AB = {0, 2, 4,6, 7, 8, 9}


n(AB) = 6





Exercícios:
1) Em uma universidade são lidos dois jornais A e B, exatamente 80% dos alunos leem o jornal A e 60% o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, determine o percentual de alunos que leem ambos:

Resolução:
A - 80% 80-x+x+60-x=100
B - 60% 140-x = 100
AB - ? x = 40%


2) Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam matemática, 210 estudam física e, 90 deles estudam as duas matérias. Pergunta-se:

a) Quantos estudam apenas matemática? 260

b) Quantos estudam apenas física? 210

c) Quantos estudam matemática ou física? 470

d) Quantos estudam nem uma delas? 70

Resolução:

630 - alunos
350 - matemática
210 - física
90 - matemática e física



c) 260 + 210 = 470

d) 260 + 210 + 90 = 560
630 - 560 = 70


Conjuntos Numéricos

Conjuntos Numéricos

*Conjuntos dos números naturais:

N= {0, 1, 2, 3, 4...}

*Subconjunto importante:

N*= {1, 2, 3...}

*Conjunto dos Números Inteiros
Z= {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

*Subconjunto importante.
Z*= {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3...} Inteiros Não Nulos
Z+= {0, 1, 2, 3...} Não Negativos

Z-= {..., -3, -2, -1} Não Positivos

Z*+= {1,2,3...} Inteiros Positivos


Z*-= {..., -3, -2, -1} Inteiros Negativos



*Conjunto dos Números Racionais

Q= {x=A/B / a e b Z e b = 0}


* Conjunto dos Números Irracionais (Q, R)

São números que não podem ser escritos sob forma de fração.

Exemplo: √2, √3 e π.

*Conjunto dos Números Reais R

R= Q U Q’


Exercícios:

Página 25:
40) Usando os símbolos e , relacione os conjuntos numéricos a seguir:

a) N e N*

b) Q e R

Resposta:

a) N N* e N* N
b) QR e RQ


41) Efetue as operações de união e intersecção:

a) Z e Q

b) Q e R
Resposta:

a) Z U Q = Q e Z n Q =Z
b) Q U R = R e Q n R = O


42) Determine:
a) N U Z

b) (N n Q) U Z
c) (Q n R) n N

d) (Q U R) n N

Resposta:
a) N U Z = Z

b) (N n Q) U Z = Z
c) (Q n R) n N = O

d) (Q U R) n N = N

43) Classifique em verdadeira ou falsa:
a) Todo número natural representa a quantidade de elementos de algum conjunto finito.

b) Existe um número natural que é maior do que todos os demais.
c) Todo número natural tem sucessor em N.
d) Todo número natural tem antecessor em N.

Resposta:
a) V

b) F
c) V

d) F

Intervalos

Intervalos

Basicamente, são subconjuntos de IR determinados por desigualdades. Os tipos de intervalos são dados pela seguinte simbologia:
[ ] ; ≤ ≥; ; = intervalo fechado
] [; ( ); ˂ ˃; ; = intervalo aberto

* Assim, dados dois números reais a e b, com a ˂ b, tem-se:

a) Intervalo Aberto









(a, b) = [a, b] = x € IR I a ˂ x ˂ b}
A (a, b)
b (a, b)
(A bolinha vazia (0) indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo)


b) Intervalo Fechado







[a, b] = { x € IR I a ≤ x ≤ b}
a € [a, b]
b € [a, b]
(A bolinha cheia indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo).


c) Intervalo Fechado à Esquerda e Aberto à Direita









[a, b) = [a, b[ = {x € IR I a ≤ ˂ b


d)Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda



(a, b] = ]A, B] = {X € IR I a ˂ x ≤ b


e) Semirreta Esquerda, fechada de origem b




(-∞, b] = ] -∞, b] = {x € IR I X ≤ b


f) Semirreta Esquerda, aberta de origem b




(-∞, b) = ] -∞, b[ = {x € IR I x ˂ b}


g) Semirreta Direita, fechada de origem a




[a, +∞) = [a, +∞[ = {x € IR I x ≥ a}



h) Semirreta direita, aberta, de origem a




(a, +∞) = ]a, +∞[ = {x € IR I x ˃ a



i) Reta Real



(-∞, +∞) = ]-∞, +∞[ = IR





Operações Com Intervalos

Antes da explicação sobre operações com intervalos, lembremos que:
União: é a união dos números de todos os conjuntos.
Intersecção: é a soma dos números em comum de dois conjuntos.
Diferença: números contidos em um conjunto que não estão contidos em outro conjunto.

a) União
Ex.: A = [1, 3)
B = [2, 5)
A U B = ?











A U B = [1, 5]



b) Intersecção
Ex.: A = [1, 3]
B = [1, 4]
A ∩ B = ?











A ∩ B = [2, 3]



C) Diferença
Ex.: A = [A, 3]
B = [1, 4)
A – B = ?




A – B = [0, 1)




Exercícios – Intervalos








Exercícios - Funções

1) A tabela à seguir indica o nome de alguns estados e suas respectivas 1) A tabela à seguir indica o nome de alguns estados e suas respectivas capitais: capitais:



















a) O nome da capital é dado em função do nome do estado?
Sim.

b) O nome da capital depende do nome do estado?

Sim.

c) A cada estado corresponde uma única capital?

Sim.


2) Observe na tabela a medida do lado(em cm) de uma região quadrada e sua área (em cm²):


Medida do lado 1 3 4 5,5 10 ... l


Área 1 9 16 30,25 100 ... l²












3) A tabela abaixo indica o custo de produção de certo número de peças para informática:

























a) A cada número de peças corresponde à um único valor e reais?
Sim.

b) O que é dado em função do que?

O custo de produção é dado em função do número de peças.


c) Qual é a fórmula matemática que dá o custo (c) em função do número de peças (x)?C = 1,20 X (x representa o número de peças).


d) Qual é custo de 10 peças? E de 20 peças? E de 50 peças?
R$ 12,00/ R$ 24,00/ R$ 60,00.

e) Com um custo de R$ 120,00, quantas peças podem ser produzidas?

100 peças (divide-se o custo total pelo preço por peça)


6) Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B?
a) A B













b) A B

















c)




















d)


















e)


















f)




















Resposta: a, b, d, f (pois nenhum dos anteriores ligam com mais de um algarismo no contradomínio e nem deixam de ligar).


7) Dados A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {-1, 0, 1, 3, 4} e a correspondência entre A e B dada por Y = x²,com x E (pertence) A e y E (pertence) B, faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B:








Resposta: Sim (pois nenhum dos elementos do domínio liga com mais de um algarismo no contradomínio e nem deixa de ligar).



8) Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {-1 0, 1}e a correspondência entre A e B dada por y = x - 2, com x E (pertence) A e y E (pertence) B faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B:



9) Dados A = {-1, 0, 1, 2, 3} e B = {1/2, 1, 2, 4, 6, 8} e uma correspondência entre A e B expressa por y = 2^x (dois elevado à x) , com x E A e y E B essa correspondência é uma função de A em B?
Resposta: Sim (pois nenhum dos elementos do domínio liga com mais de um algarismo no contradomínio e nem deixa de ligar).




13) Expresse por meio de uma fórmula matemática a função f: IR IR,
que a cada número real x associa:


a) o seu quadrado;
f(x) = x²
b) A sua terça parte;
f(x) = x_
3
c) O seu dobro diminuído de 3;
f(x) = 2x – 3
d) O seu quadrado diminuído de 4;
f(x) = x² - 4
e)a sua metade somado com 3;
f(x) = x + 3 _
2
f) o seu cubo somado com o seu quadrado.
f(x) = x³ + x²




14) Escreva a fórmula matemática que expresse a lei de cada uma das funções abaixo:
a)Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 de visita mais R$ 20,00 por hora de mão de obra. Então o preço de y que se deve pagar pelo conserto de um televisor é dado função do número x de horas de trabalho(mão-de-obra).
y = 20x + 40
b)Um Fabricante produz objetos a um custo de R$ 12,00 a unidade vendendo-os por R$ 20,00 a unidade. Portanto, o lucro y do fabricante é dado em função do número x de unidades produzidas e vendidas
y = 8x
c) A organização Mundial da Saúde recomenda que cada cidade tenha no mínimo 14 M² de área verde por habitante. A área verde mínima y que deve ter uma cidade é dada em função do número x de habitantes.
y = 14x b) y = 3x

15) Um retângulo tem comprimento c , largura l e perímetro 20, determine:











a) A fórmula que dá o valor de c em função de l;
c = 10 – L

b) l em função de c.
L = 10 – c



17) Seja a função F: D → IR dada por f(x) = 2x + 1, de domínio D = {-2, -1, 0 , 1, 2}. Determine o conjunto imagem de f:














18) Considere f : IR IR dada por f(x) = 3x + 5. Determine f(-3) e f(0):


f(x) = 3x + 5


* F(x) = 3 . ( - 3) + 5 .: f(x) = - 9 + 5 .: - 4


* F(x) = 3 . (0) + 5 .: 5

19) Considere f: IR IR dada por f(x) = x² - 1. Determine a imagem do número real √2, pela função f(x) = √2² - 1:

f(x) = √2² - 1.: f(x) = 2 -1 .: 1


20) Considere f: IR IR dada por f(x) = 3x - 2 e determine o número real x de modo que f(x) = 0:




f(x) = 3. 0 – 2 .: - 2

21) Se D = {1, 2, 3, 4, 5} é o domínio da função f: D IR, defina por f(x) = (x - 2) (x - 4), quantos elementos tem o conjunto imagem da função?