Intervalos
Basicamente, são subconjuntos de IR determinados por desigualdades. Os tipos de intervalos são dados pela seguinte simbologia:
[ ] ; ≤ ≥; ; = intervalo fechado
] [; ( ); ˂ ˃; ; = intervalo aberto
* Assim, dados dois números reais a e b, com a ˂ b, tem-se:
a) Intervalo Aberto
(a, b) = [a, b] = x € IR I a ˂ x ˂ b}
A (a, b)
b (a, b)
(A bolinha vazia (0) indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo)
b) Intervalo Fechado
[a, b] = { x € IR I a ≤ x ≤ b}
a € [a, b]
b € [a, b]
(A bolinha cheia indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo).
c) Intervalo Fechado à Esquerda e Aberto à Direita
[a, b) = [a, b[ = {x € IR I a ≤ ˂ b
d)Intervalo Fechado à Direita e Aberto à Esquerda
(a, b] = ]A, B] = {X € IR I a ˂ x ≤ b
e) Semirreta Esquerda, fechada de origem b
(-∞, b] = ] -∞, b] = {x € IR I X ≤ b
f) Semirreta Esquerda, aberta de origem b
(-∞, b) = ] -∞, b[ = {x € IR I x ˂ b}
g) Semirreta Direita, fechada de origem a
[a, +∞) = [a, +∞[ = {x € IR I x ≥ a}
h) Semirreta direita, aberta, de origem a
(a, +∞) = ]a, +∞[ = {x € IR I x ˃ a
i) Reta Real
(-∞, +∞) = ]-∞, +∞[ = IR
Operações Com Intervalos
Antes da explicação sobre operações com intervalos, lembremos que:
União: é a união dos números de todos os conjuntos.
Intersecção: é a soma dos números em comum de dois conjuntos.
Diferença: números contidos em um conjunto que não estão contidos em outro conjunto.
a) União
Ex.: A = [1, 3)
B = [2, 5)
A U B = ?
A U B = [1, 5]
b) Intersecção
Ex.: A = [1, 3]
B = [1, 4]
A ∩ B = ?
A ∩ B = [2, 3]
C) Diferença
Ex.: A = [A, 3]
B = [1, 4)
A – B = ?
A – B = [0, 1)
Exercícios – Intervalos
Exercícios - Funções
1) A tabela à seguir indica o nome de alguns estados e suas respectivas 1) A tabela à seguir indica o nome de alguns estados e suas respectivas capitais: capitais:
a) O nome da capital é dado em função do nome do estado?
Sim.
b) O nome da capital depende do nome do estado?
Sim.
c) A cada estado corresponde uma única capital?
Sim.
2) Observe na tabela a medida do lado(em cm) de uma região quadrada e sua área (em cm²):
Medida do lado 1 3 4 5,5 10 ... l
Área 1 9 16 30,25 100 ... l²
3) A tabela abaixo indica o custo de produção de certo número de peças para informática:
a) A cada número de peças corresponde à um único valor e reais?
Sim.
b) O que é dado em função do que?
O custo de produção é dado em função do número de peças.
c) Qual é a fórmula matemática que dá o custo (c) em função do número de peças (x)?C = 1,20 X (x representa o número de peças).
d) Qual é custo de 10 peças? E de 20 peças? E de 50 peças?
R$ 12,00/ R$ 24,00/ R$ 60,00.
e) Com um custo de R$ 120,00, quantas peças podem ser produzidas?
100 peças (divide-se o custo total pelo preço por peça)
6) Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B?
a) A B
b) A B
c)
d)
e)
f)
Resposta: a, b, d, f (pois nenhum dos anteriores ligam com mais de um algarismo no contradomínio e nem deixam de ligar).
7) Dados A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {-1, 0, 1, 3, 4} e a correspondência entre A e B dada por Y = x²,com x E (pertence) A e y E (pertence) B, faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B:
Resposta: Sim (pois nenhum dos elementos do domínio liga com mais de um algarismo no contradomínio e nem deixa de ligar).
8) Dados A = {0, 1, 2, 3}, B = {-1 0, 1}e a correspondência entre A e B dada por y = x - 2, com x E (pertence) A e y E (pertence) B faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B:
9) Dados A = {-1, 0, 1, 2, 3} e B = {1/2, 1, 2, 4, 6, 8} e uma correspondência entre A e B expressa por y = 2^x (dois elevado à x) , com x E A e y E B essa correspondência é uma função de A em B?
Resposta: Sim (pois nenhum dos elementos do domínio liga com mais de um algarismo no contradomínio e nem deixa de ligar).
13) Expresse por meio de uma fórmula matemática a função f: IR → IR,
que a cada número real x associa:
a) o seu quadrado;
f(x) = x²
b) A sua terça parte;
f(x) = x_
3
c) O seu dobro diminuído de 3;
f(x) = 2x – 3
d) O seu quadrado diminuído de 4;
f(x) = x² - 4
e)a sua metade somado com 3;
f(x) = x + 3 _
2
f) o seu cubo somado com o seu quadrado.
f(x) = x³ + x²
14) Escreva a fórmula matemática que expresse a lei de cada uma das funções abaixo:
a)Uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 de visita mais R$ 20,00 por hora de mão de obra. Então o preço de y que se deve pagar pelo conserto de um televisor é dado função do número x de horas de trabalho(mão-de-obra).
y = 20x + 40
b)Um Fabricante produz objetos a um custo de R$ 12,00 a unidade vendendo-os por R$ 20,00 a unidade. Portanto, o lucro y do fabricante é dado em função do número x de unidades produzidas e vendidas
y = 8x
c) A organização Mundial da Saúde recomenda que cada cidade tenha no mínimo 14 M² de área verde por habitante. A área verde mínima y que deve ter uma cidade é dada em função do número x de habitantes.
y = 14x b) y = 3x
15) Um retângulo tem comprimento c , largura l e perímetro 20, determine:
a) A fórmula que dá o valor de c em função de l;
c = 10 – L
b) l em função de c.
L = 10 – c
17) Seja a função F: D → IR dada por f(x) = 2x + 1, de domínio D = {-2, -1, 0 , 1, 2}. Determine o conjunto imagem de f:
18) Considere f : IR → IR dada por f(x) = 3x + 5. Determine f(-3) e f(0):
f(x) = 3x + 5
* F(x) = 3 . ( - 3) + 5 .: f(x) = - 9 + 5 .: - 4
* F(x) = 3 . (0) + 5 .: 5
19) Considere f: IR → IR dada por f(x) = x² - 1. Determine a imagem do número real √2, pela função f(x) = √2² - 1:
f(x) = √2² - 1.: f(x) = 2 -1 .: 1
20) Considere f: IR → IR dada por f(x) = 3x - 2 e determine o número real x de modo que f(x) = 0:
f(x) = 3. 0 – 2 .: - 2
21) Se D = {1, 2, 3, 4, 5} é o domínio da função f: D → IR, defina por f(x) = (x - 2) (x - 4), quantos elementos tem o conjunto imagem da função?
